Question

10．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，BC上，且EC⊥DF，垂足为G，若AE=2，BE=1，求DF的长．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD，然后利用“边角边”证明△CBE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=DF，再代入数据即可得解．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD，
∵EC⊥DF
∴∠FGC=90°
∴∠BEC+∠BCE=∠BCE+∠DFC=90°
∴∠BEC=∠DFC，
在△BCE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}∠BEC=∠DFC\\∠B=∠BCD\\ BC=DC\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CDF，
∴DF=CE，
∵BC=AB=AE+BE=3，∠B=90°
∴$DF=CE=\sqrt{B{E^2}+C{E^2}}=\sqrt{{1^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质求出三角形全等是解题的关键．