Question

已知抛物线y=x²与动直线y=（2t-1）x-c有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

x

2 1

+

x

2 2

=2t2+2t+3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

分析：（1）将抛物线解析式与直线解析式联立组成方程组，消去y得到关于x的方程，根据两函数图象有两个不同的交点，得到根的判别式大于0，列出关于t的不等式，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将已知等式变形后用t表示出c，代入不等式中得到关于t的一元一次不等式，求出不等式的解集即可得到t的范围；
（2）由表示出的c，利用二次函数的性质即可求出c的最小值，以及此时t的值．

解答：解：（1）联立得：

y=x2 y=(2t-1)x-c

，
消去y得：x²-（2t-1）x+c=0，
根据题意得：△=（2t-1）²-4c＞0①，x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2t-1）²-2c=2t²+2t+3，
整理得：c=t²-3t-1，
代入①得：（2t-1）²-4（t²-3t-1）＞0，
整理得：4t²-4t+1-4t²+12t+4＞0，即8t＞-5，
解得：t＞-

5

8

；
（2）∵c=t²-3t-1=（t-

3

2

）²-

13

4

，
∴当t=

3

2

时，c取最小值，最小值为-

13

4

．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：根的判别式，两函数的交点坐标，根与系数的关系，一元一次不等式的解法，以及二次函数的性质，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．