Question

4．已知二次函数y=x²+bx+c（b，c为常数）．
（1）当b=2，c=-3时，求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当c=10时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）把b=2，c=-3代入函数解析式，求二次函数的最小值；
（2）根据当c=10时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x²+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；
（3）当c=b²时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
故当x=-1时，二次函数取得最小值-4；
（2）当c=10时，二次函数的解析式为y=x²+bx+10，
由题意得，x²+bx+10=1有两个相等是实数根，
∴△=b²-36=0，
解得b₁=6，b₂=-6，
∴二次函数的解析式y=x²+6x+10，y=x²-6x+10；
（3）当c=b²时，二次函数解析式为y═x²+bx+b²，
图象开口向上，对称轴为直线x=-$\frac{b}{2}$，
①当-$\frac{b}{2}$＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y=b²+b•b+b²=3b²为最小值，
∴3b²=21，解得b₁=-$\sqrt{7}$（舍去），b₂=$\sqrt{7}$；
②当b≤-$\frac{b}{2}$≤b+3时，即-2≤b≤0，
∴x=-$\frac{b}{2}$，y=$\frac{3}{4}$b²为最小值，
∴$\frac{3}{4}$b²=21，解得b₁=-2$\sqrt{7}$（舍去），b₂=2$\sqrt{7}$（舍去）；
③当-$\frac{b}{2}$＞b+3，即b＜-2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=b+3时，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9为最小值，
∴3b²+9b+9=21．解得b₁=1（舍去），b₂=-4；
∴b=$\sqrt{7}$时，解析式为：y=x²+$\sqrt{7}$x+7
b=-4时，解析式为：y=x²-4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y=x²+$\sqrt{7}$x+7或y=x²-4x+16．

点评 本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．