Question

16．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点．点P从点A出发，沿AB-BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA-AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．
（2）当△PQD是等边三角形时，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据当0≤t≤2和2≤t≤3时两种情况进行解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和AAS证明△BPD与△CDQ全等解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴当0≤t≤2时，BP=2-t；
当2≤t≤3时，BP=t-2；
（2）∵△PQD是等边三角形，∴∠PDQ=60°，
∴∠PDB+∠CDQ=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠PDB+∠BPD=120°，
∴∠BPD=∠CDQ，
∵BD=CD，
在△BPD与△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPD=∠CDQ}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CDQ（AAS），
∴BP=CQ，
∴2-t=t，
∴t=1．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．