Question

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，

　　　 ∴，

　　　 ∴

　　　 当点A?在线段AB上时，∵，TA=TA?，

　　　 ∴△A?TA是等边三角形，且，

　　　 ∴，，

　　

∴，

　 当A?与B重合时，AT=AB=，

　　　 所以此时.

(2)当点A?在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，

　　 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA?与CB的交点)，

　　 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)

　　 又由(1)中求得当A?与B重合时，T的坐标是(6，0)

　　 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，.

3)S存在最大值

　　 当时，，

　　 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是.

当时，由图，重叠部分的面积

∵△A?EB的高是，

∴

　

当t=2时，S的值最大是；

当，即当点A?和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA?与CB的交点，F是TP与CB的交点)，

∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴

综上所述，S的最大值是，此时t的值是