Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.

(1)以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝2 ，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积(结果保留根号和π)．

Answer 1

解：(1)如图 (需保留线段AD中垂线的痕迹)．

直线BC与⊙O相切．理由如下：

连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC.

∴∠ODA＝∠DAC.

∴OD∥AC.

∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC.

又∵直线BC过半径OD的外端，

∴BC为⊙O的切线．

(2)设OA＝OD＝r，

在Rt△BDO中，OD²＋BD²＝OB²，

∴r²＋(2 )²＝(6－r)²，解得r＝2.

∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°.

∴S_扇形ODE＝＝π.

∴所求图形面积为S_△BOD－S_扇形ODE＝2 －π.