Question

如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=

3

5

，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，证OE⊥AB即可．通过证明△BOC≌△BOE得证；
（2）根据垂径定理，EF=2EG，所以求出EG的长即得解．连接CE，则∠CED=90°，∠ECD=∠F．CD=10．根据三角函数可求EG得解．

解答：（1）证明：连接OE．
∵ED∥OB，
∴∠1=∠2，∠3=∠OED．
又OE=OD，
∴∠2=∠OED，
∴∠1=∠3．
又OB=OB，OE=OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）
∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB．
∴AB是⊙O切线．

（2）解：连接CE，
∵∠F=∠4，CD=2•OC=10；
由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：
ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×

3

5

=6．
∴CE=

CD2-ED2

=

102-62

=8．
在Rt△CEG中，

EG

CE

=sin∠4=

3

5

，
∴EG=

3

5

×8=

24

5

．
根据垂径定理得：EF=2EG=

48

5

．

点评：此题考查了切线的判定、垂径定理及解直角三角形等知识点，综合性很强，难度较大．