Question

当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0与mx²-8x+16=0的根都是整数．

Answer 1

解：∵关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0的根都是整数，
∴△=（2m）²-4（m²-4m-5）=16m+20≥0，解得m≥-，
∵关于x的一元二次方程mx²-8x+16=0的根都是整数，
∴m≠0，
∴△=（-8）²-4m×16≥0，解得m≤1，
∴-≤m≤1且m≠0，
∵m是整数，
∴m=-1或1，
当m=-1时，mx²-8x+16=0化为-x²-8x+16=0，解得x=-4±4，不合题意舍去；
当m=1时，x²-2mx+m²-4m-5=0化为x²-2x-8，解得x₁=4，x₂=-2，
方程mx²-8x+16=0化为x²-8x+16=0，解得x₁=x₂=4，
∴m=1．
分析：根据△的意义得到对于一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0得到（2m）²-4（m²-4m-5）=16m+20≥0，解得m≥-，对于mx²-8x+16=0得到m≠0，（-8）²-4m×16≥0，解得m≤1，即m≤1且m≠0，
由此得到m的范围为-≤m≤1且m≠0，而m是整数，m=-1或1，然后分别把m=1或-1代入方程求解，再确定满足条件的m的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．