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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数y=
    kx
    图象相交于点A，B，已知点A精英家教网的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
    ①求实数k的值；
    ②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式；
    ③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；
    ④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．
    分析：①把A（1，4）代入即可；
    ②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S△ABQ-S△AOH-S△BNO-S矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（-2，-2），把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得出方程组
    -2=4a-2b
    4=a+b
    ，求出方程组得解即可；
    ③充分利用（-2，-2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系
    ④S=
    1
    2
    m（1+
    		m+1
    -m），当m=
    3
    2
    时，S最大，把m=
    3
    2
    代入即可求出s，从而得到E的坐标．
    解答：解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，
    答：实数k的值是4．

    ②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，精英家教网
    设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
    则：S=S△ABQ-S△AOH-S△BNO-S矩形ONQH，
    即：3=
    1
    2
    （1+c）（4+d）-
    1
    2
    ×1×4-
    1
    2
    cd-d×1，
    cd=k=4，
    解得：c=2，d=2，
    ∴B（-2，-2），
    把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得：
    -2=4a-2b
    4=a+b
    ，
    解得：
    a=1
    b=3
    ，
    ∴y=x2+3x，
    答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x．
    ⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，
    解得：x1=0，x2=-3，
    ∴D（-3，0），
    即OD=3，
    ∵B（-2，-2），
    ∴由勾股定理得：OB=2
    		2
    ，
    ∵EF∥OB，
    ∴△DFE∽△DBO，
    ∴
    EF
    OB
    =
    DE
    DO
    ，
    ∴
    EF
    2
    		2
    =
    3-m
    3
    ，
    ∴EF=2
    		2
    -
    2
    		2
    3
    m，
    过F作FC⊥x轴于C，
    根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：
    FC
    BM
    =
    DE
    DO
    ，
    ∴
    FC
    2
    =
    3-m
    3
    ，
    FC=
    6-2m
    3

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    S=S△EDB-S△EDF
    =
    1
    2
    DE×BM-
    1
    2
    FC×DE，
    即S=-
    1
    3
    m2+m，
    ∴S与m的函数关系S=-
    1
    3
    m2+m．

    ④S=-
    1
    3
    m2+m．
    当m=
    3
    2
    时，S最大，是
    3
    4
    ，
    ∴E(-
    3
    2
    ，0)    ，
    答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是
    3
    4
    ，此时E点的坐标是（-
    3
    2
    ，0）．
    点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，解二元一次方程，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理，函数的最值，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，二次函数的图象经过点D（0，
    7
    9
    		3
    ），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
    （3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
    （1）求二次函数与一次函数的解析式；
    （2）如果一次函数图象与y相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．
    精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，-3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数解析式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
    （1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
    （2）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
    （3）从第几个月起公司开始盈利？该月公司所获利润是多少万元？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b
    ＞
    ＞
    0（填“＞”、“＜”、“=”）；
    （2）当x满足
    x＜-4或x＞2
    x＜-4或x＞2
    时，ax2+bx+c＞0；
    （3）当x满足
    x＜-1
    x＜-1
    时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．

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