Question

【题目】如图①，AB＝AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB.问：(答题时，注意书写整洁)

(1)图①中有几个等腰三角形？(写出来，不需要证明)

(2)过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图②，图中增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．

(3)如图③，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF与BE、CF有什么关系？(写出来，不需要证明)

Answer 1

【答案】（1）有两个等腰三角形：△ABC，△BDC.（2）增加了三个等腰三角形：△EBD，△FDC，△AEF，证明见解析；（3）有两个等腰三角形：△EBD，△FDC.EF＝BE＋CF，理由见解析

【解析】

（1）由条件可证得∠DBC＝∠DCB，所以共有两个等腰三角形；

（2）由平行和角平分线的性质可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，且AE＝AF，所以增加了三个等腰三角形；

（3）此时同②只能得出∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，即只有两个等腰三角形，且EF＝BE＋FC．

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD、CD分别是角平分线，

∴∠DBC＝12∠ABC＝12∠ACB＝∠DCB，

∴DB＝DC，

∴△BDC是等腰三角形，

即在图1中共有两个等腰三角形；

（2）∵EF∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBE＝∠DBC，

∴∠DBE＝∠EDB，

∴EB＝ED，

∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵AB＝AC，

∴△AEF为等腰三角形，

即在图2中增加了三个等腰三角形；

（3）同（2）可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，

所以EF＝BE＋CF，

即只有两个等腰三角形．