Question

18．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=3，EF=4，FC=5，则正方形ABCD的外接圆的半径是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，进而得到AC的长，在Rt△ABC中，由AB=AC•sin45°，即可求出正方形的边长

解答 解：连接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{EM}{FM}$，
∵AE=3，EF=4，FC=5，
∴$\frac{EM}{FM}$=$\frac{3}{5}$，
∴EM=1.5，FM=2.5，
在Rt△AEM中，AM=$\sqrt{A{E}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△FCM中，CM=$\sqrt{C{F}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴AC=4$\sqrt{5}$，
∴正方形ABCD的外接圆的半径是4$\sqrt{5}$，
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．