Question

9．已知关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+（2k-1）=0．
（1）求证：该方程由两个不相等的实数根．
（2）若此方程有一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的等腰三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可．△=[-（k+2）]²-4（2k-1）=k²-6k+13=（k-2）²+4，因为（k-2）²≥0，可以得到△＞0；
（2）将x=1代入方程x²-（k+1）x+2k-3=0，求出k的值，进而得出方程的解，探讨得出等腰三角形的周长．

解答 （1）证明：∵△=[-（k+2）]²-4（2k-1）=k²-4k+8=（k-2）²+4，
而（k-2）²≥0，
∴△＞0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，
∴1²-（k+2）+2k-1=0，
解得：k=2，
∴原方程为：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
方程的另一个根是3，
等腰三角形的三边长为3，3，1，周长为3+3+1=7．

点评 此题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．