Question

在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；
（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；
（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：；
（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠A=180°-30°-70°=80°，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠EAC=×80°=40°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-70°=20°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；

（2）证明：过A点作高AD，如图，
∠A=180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠EAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），
而∠DAC=90°-∠C，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-（∠B+∠C）-90°-∠C=（∠C-∠B），
∵FG⊥BC，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=（∠C-∠B）；

（3）②中结论依然成立．理由如下：过A点作高AD，如图，
在（2）中得到∠EAD=（∠C-∠B），
∵FG⊥BC，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=（∠C-∠B）．
分析：（1）根据三角形内角和定理得∠A=180°-30°-70°=80°，再根据角平分线定义得∠EAC=×80°=40°，由AD是△ABC的BC边上的高，得∠ADC=90°，计算出∠DAC=90°-70°=20°，
则∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；
（2）根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠B-∠C，再根据角平分线定义得∠EAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），而∠DAC=90°-∠C，可计算得∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-（∠B+∠C）-90°-∠C=（∠C-∠B），然后利用平行线的性质得到结论；
（3）与（2）证明方法一样．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质以及三角形的高、角平分线．