Question

已知：点P是等边△ABC内任意一点，它到三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，且满足h₁+h₂+h₃=6，则S_△ABC=

 

．

Answer 1

分析：根据等边三角形的面积可以得到三角形的高等于6，然后根据等边三角形的高、底边的一半以及一条边长构成含30°角的直角三角形，然后求出等边三角形的边长，再根据面积公式求解即可．

解答：解：如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC，
过点A作AD⊥BC，垂足为D，
则BD=CD=

1

2

BC=

1

2

AB，
∵S_△ABC=

1

2

AB•h₁+

1

2

BC•h₂+

1

2

AC•h₃=

1

2

BC•AD，
∴AD=h₁+h₂+h₃=6，
在Rt△ABD中，AB²=BD²+AD²，
即AB²=（

1

2

AB）²+6²，
AB=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×4

3

×6=12

3

．
故答案为：12

3

．

点评：本题考查了等边三角形的三条边都相等的性质，三线合一的性质，勾股定理的运用，求出等边三角形的高线的长是解题的关键．