Question

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线上的一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．
（1）用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（2）△EOF与△BOE是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由；
（3）无论点P在双曲线第一象限部分上怎样移动，证明∠EOF是一个定值．

Answer 1

解：（1）由题意知：A（1，0），B（0，1）；
则：OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，△BNF、△EMA为等腰直角三角形；
∴BN=NF=1-b，EM=MA=1-a，即E（a，1-a），F（1-b，b）；
S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE=b-（1-a）=×1×[b-（1-a）]=（a+b-1）．

（2）已知：B（0，1）、E（a，1-a）、F（1-b，b）；
则PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
在直角三角形PEF中，根据勾股定理得：EF==（a+b-1），
同理：OE==，BE==a；
因此：OE²=2a²-2a+1，EF•BE=2a（a+b-1）=2a²-2a+2ab；
由于点P在反比例函数的图象上，那么：2ab=1，
即：EF•BF=2a²-2a+2ab=2a²-2a+1=OE²；
又由∠OEF=∠BEO，
∴△OEF∽△BEO．

（3）由（2）知：△OEF∽△BEO，则∠EOF=∠OBE=45°，
因此无论点P在第一象限怎样移动，∠EOF的度数都是一个定值．
分析：（1）由直线AB的解析式，易得OA=OB=1，那么△BFN、△BOA、△AME都是等腰直角三角形，可用a、b分别表示出BN、AM的长，即可得NF、EM的值，从而得到E、F的坐标；计算△EOF的面积时，可利用△AOF、△AOE的面积差来得到．
（2）已经求得了E、F的坐标，可利用坐标系两点间的距离公式，分别表示出EF、OE、BE的长，然后判断这三条线段是否成比例，即可判断出△EOF、△BOE是否相似（注意公共角∠OEB这个隐含条件）．
（3）在（2）中，已证得△EOF、△BOE，根据相似三角形的对应角相等，即可得到∠EOF=∠EBO，从而确定∠EOF的具体度数．
点评：此题是反比例函数的综合题，融合了矩形、等腰直角三角形、三角形面积的求法、两点间的距离公式、相似三角形的判定和性质等重要知识，难点在于第二问，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．