Question

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。

（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？

Answer 1

解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x， ∴， 解得1<x<2； （2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解； ②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=， 满足1<x<2； ③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=，满足1<x<2， ∴x=或x=； （3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则S=xh， ①如图甲所示，若点D在线段AB上， 则， ∴（3-x）2-h2=x2-2x+1-h2，即x=3x-4， ∴x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16， ∴S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2， 当x=时（满足≤x<2），S2取最大值，从而S取最大值， ②如图乙所示，若点D在线段MA上，则， 同理可得，S2==-2x2+6x-4=-2（x-）2+， 易知此时S<， 综合①②得，△ABC的最大面积为。