Question

（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：

4a-2b+c=0 9a-3b+c=3 c=0

，
解得：

a=1 b=2 c=0

．
故函数解析式为：y=x²+2x．

（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（-2，0）知：DE=AO=2，
由四边形AODE可知D在对称轴直线x=-1右侧，
则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D（1，3）．
综上可得点D的坐标为：（1，3）．

（3）存在．
如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），
根据勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∵BO²+CO²=BC²，
∴△BOC是直角三角形，
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，则

AM

BO

=

PM

CO

，
即x+2=3（x²+2x），
得：x₁=

1

3

，x₂=-2（舍去）．
当x=

1

3

时，y=

7

9

，即P（

1

3

，

7

9

），
②若△PMA∽△BOC，则

AM

CO

=

PM

BO

，
即：x²+2x=3（x+2），
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（

1

3

，

7

9

）或（3，15）．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．