Question

如图，在边长为6的正方形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N，若点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12），那么当△ADN为等腰三角形时，x的值为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：根据正方形的性质点M与点B、C重合时△ADN是等腰三角形；AN=AD时，利用勾股定理列式求出AC，再求出CN，然后求出△ADN和△CMN相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CM，然后求出BM即可得解．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴当x=6时，点M与点B重合，AN=DN，△ADN为等腰三角形，
当x=12时，点M与点C重合，AD=DN，△ADN为等腰三角形，
当AN=AD时，在Rt△ACD中，AC=

62+62

=6

2

，
CN=AC-AN=6

2

-6，
∵正方形ABCD的边BC∥AD，
∴△ADN∽△CMN，
∴

CM

AD

=

CN

AN

，
即

CM

6

=

6 2 -6

6

，
解得CM=6

2

-6，
∴BM=BC-AM=6-（6

2

-6）=12-6

2

，
x=AB+BM=6+12-6

2

=18-6

2

，
综上所述，x为6或12或18-6

2

时，△ADN为等腰三角形．
故答案为：6或12或18-6

2

．

点评：主要考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．