Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC=8，tan∠ABC=3，AD⊥BC于D，O是AD上一点，OD=3，以OB为半径的⊙O分别交AB、AC于E、F．求：
（1）⊙O的半径；
（2）BE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,垂径定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质求出BD，根据勾股定理求出OB即可；
（2）根据垂径定理得出BH=HE，证三角形AHO和三角形ADB相似，得出比例式，求出AH，求出AB，求出BH即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，BC=8，
∴BD=CD=4，
在RT△BOD中∵OD=3，
∴由勾股定理得：OB=5；

（2）过O点作OH⊥AB，交AB于H，
又∵OH过圆心O，
∴BH=EH，
∵在RT△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=3，
∴AD=12，由勾股定理得：AB=4

10

，
∵OD=3，
∴AO=9，
∵∠OAH=∠BAD，∠OHA=∠ADB，
∵△AOH∽△ABD，
∴

AH

AD

=

AO

AB

，
∴

AH

12

=

9

4 10

，
∴AH=

27 10

10

，
∴BH=

13 10

10

，
∴BE=

13 10

5

．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．