Question

16．观察下列等式：
$\frac{1}{1×3}$=（1-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{3×5}$=（$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$）×$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{5×7}$=（$\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}$）×$\frac{1}{2}$；
…
利用你所发现的规律计算下式：
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$$+\frac{1}{5×7}$+…$+\frac{1}{99×101}$．

Answer 1

分析 分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，以这两个奇数为分母的两个分数差的$\frac{1}{2}$，由此规律拆分计算得出答案即可．

解答 解：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$$+\frac{1}{5×7}$+…$+\frac{1}{99×101}$
=（1-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$）×$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}$）×$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）×$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{100}{101}$
=$\frac{50}{101}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出分数分子与分母的特点，得出拆分的规律解决问题．