Question

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=3；③tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；④S_△ADE=6$\sqrt{5}$．
其中正确的有个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①利用垂径定理可知$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，可知∠ADF=∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；②结合CF=2，且$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，可求得DF=6，且CG=DG，可求得FG=2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，且∠E=∠ADG，可判断出③；④可先求得S_△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比，可求出S_△ADE=7$\sqrt{5}$．

解答 解：①∵AB为直径，AB⊥CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ADF=∠AED，且∠FAD=∠DAE，
∴△ADF∽△AED，
∴①正确；
②∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CG=DG，
∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，且CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∴CG=4，
∴FG=CG-CF=4-2=2，
∴②错误；
③在Rt△AGF中，AF=3，FG=2，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，且DG=4，
∴tan∠ADG=$\frac{AG}{GD}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∵∠E=∠ADG，
∴tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴③错误；
④在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{5}$，DG=4，
∴AD=$\sqrt{21}$，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴△ADF∽△AED中的相似比为$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△AED}}$=（$\frac{\sqrt{21}}{7}$）²=$\frac{3}{7}$，
在△ADF中，DF=6，AG=$\sqrt{5}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{{S}_{△AED}}$=$\frac{3}{7}$，
∴S_△ADE=7$\sqrt{5}$，
∴④错误；
∴正确的有①一个．
故选A．

点评 本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．