Question

如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和等边△ACD，直线BD与直线CE相交于点O．
（1）求证：CE=BD；
（2）如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠BOC的度数：
（3）如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ACB是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请直接写出变化的结论，不需说明理由；若不变化，请直接写明结论．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，再求出∠BAD=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABD和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABD，然后求出∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答；
（3）分①∠ABC＞120°时，同理可得△ABD和△AEC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠ACE，然后求出∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，然后利用三角形的内角和定理解答；②∠ABC=120°时，点B、C、E在同一直线上，∠BOC不存在；③∠ABC＜120°时，同理可得△ABD和△AEC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠ACE，然后求出∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答．

解答：（1）证明：∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC，∠EAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△AEC中，

AB=AE ∠BAD=∠EAC AC=AD

，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴CE=BD；

（2）解：由（1）知，△ABD≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABD，
又∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，
∴∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE=60°+60°=120°，
在△BOE中，∠BOC=∠OEB+∠OBE=120°，
故∠BOC的度数不会发生变化；

（3）解：①∠ABC＞120°时，如图1，与（1）同理可得△ABD≌△AEC，
∴∠ADB=∠ACE，
∴∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，
在△ODC中，∠BOC=180°-（∠ODC+∠COD）=180°-120°=60°；
②∠ABC=120°时，点B、C、E在同一直线上，∠BOC不存在；
③∠ABC＜120°时，如图2，与（1）同理可得△ABD≌△AEC，
∴∠ADB=∠ACE，
∴∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，
在△ODC中，∠BOC=∠ODC+∠COD=120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于（3）要分情况讨论．