Question

如图16，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；

 

（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）线段AB长度的最小值为4.

理由如下：

连接OP，如答图8所示.

 

答图8

∵AB切⊙O于P，

∴OP⊥AB.

取AB的中点C，

则AB=2OC；

当OC=OP时，OC最短，

即AB最短，

此时AB=4.

（2）设存在符合条件的点Q.

 

答图9

如答图9,设四边形APOQ为平行四边形,

∵∠APO=90°，

∴四边形APOQ为矩形，

又∵OP=OQ，

∴四边形APOQ为正方形，

∴OQ=QA，∠QOA=45°.

在Rt△OQA中，

根据OQ=2，∠AOQ=45°，

得Q点坐标为（，－）；

如答图10，设四边形APQO为平行四边形,

 

答图10

∵OQ∥PA，∠APO=90°，

∴∠POQ=90°，

又∵OP=OQ，

∴∠PQO=45°，

∵PQ∥OA，

∴PQ⊥y轴.

设PQ⊥y轴于点H，

在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，

得Q点坐标为（－，）．

∴符合条件的点Q的坐标为（－，）或（，－）．