Question

3．如图1，已知抛物线的顶点M的坐标为（1，4），且经过点N（2，3），与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在线段AB上存在一动点K（点K不与点A重合），设点K的坐标为（t，0）（t＞0），过K作KF⊥AB交射线AN于点F，以KF为一边在KF的右侧作正方形KFGH，又使△OCG为等腰三角形．求此时正方形KFGH的边长．

Answer 1

分析 （1）按抛物线的顶点坐标设出解析式，再将点N坐标代入即可；
（2）先确定出直线AN解析式，进而表示出点F，即可得出正方形的边长，再表示出点G坐标，最后分三种情况用两边相等建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点M的坐标为（1，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
∵抛物线经过点N（2，3），
∴3=a（2-1）²+4，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，0=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵N（2，3），
∴直线AN的解析式为y=x+1，
∵K作KF⊥AB交射线AN于点F，设点K的坐标为（t，0）（t＞0），
∴F（t，t+1），
∴FK=t+1，
∵以KF为一边在KF的右侧作正方形KFGH，
∴H（2t+1，0），G（2t+1，t+1），
∵C（0，3），∴OC=3，OG²=（（2t+1）²+（t+1）²，CG²=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∵△OCG为等腰三角形，∴①当OC=OG时，
∴OC²=OG²，
∴9=（（2t+1）²+（t+1）²，
∴t=$\frac{-3-2\sqrt{11}}{5}$（不符合题意，舍）或t=$\frac{-3+2\sqrt{11}}{5}$，
∴t+1=$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，
∴正方形KFGH的边长为$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，
②当OC=CG时，∴OC²=CG²，
∴9=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∴t=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（不符合题意，舍）或t=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴t+1=$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$，
∴正方形KFGH的边长为$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$，
③当OG=CG时，∴OG²=CG²，
∴（（2t+1）²+（t+1）²=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∴t=$\frac{1}{2}$，
∴t+1=$\frac{3}{2}$，
∴正方形KFGH的边长为$\frac{3}{2}$．
即：正方形KFGH的边长为$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$或$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$或$\frac{3}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点；（2）中用t表示出点G坐标是解答的关键．