Question

14．阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．
请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=42，求a²+b²+c²的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a²+7ab+3b²=（a+3b）（2a+b）．

Answer 1

分析 （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c=12，ab+bc+ac=42代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）根据分解结果画出图形即可．

解答 解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）²；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca；

（2）∵a+b+c=12，ab+bc+ac=42，
∴由（1）可知：a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）=12²-42×2=60；

（3）如图所示：
2a²+7ab+3b²=（a+3b）（2a+b）．

点评 本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．