Question

直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是

1. A.
   2或8
2. B.
   4或6
3. C.
   5
4. D.
   3或7

Answer 1

B
分析：过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．
解答：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，
∵∠A=∠D=90°，AB=AD，
∴四边形ABFD是正方形，
把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，
∵∠CBE=45°，
∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°-∠CBE=90°-45°=45°，
∴∠CBE=∠CBG，
在△CBE和△CBG中，
，
∴△CBE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，
∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，
设AE=x，则DE=12-x，CF=10-x，
∴CD=12-（10-x）=x+2，
在Rt△CDE中，CD²+DE²=CE²，
即（x+2）²+（12-x）²=10²，
整理得，x²-10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6，
所以AE的长是4或6．
故选B．
点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作辅助线构造出正方形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．