Question

16．如图，点E是半径为6的⊙O上一点，过点E作一只60°的圆周角∠AEB，分别过点A、B作⊙O的切线，两条切线交于点P．那么四边形AEBP的面积的最大值是54$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连结OA、OB、AB、OP，如图，利用圆周角定理得到∠AOB=2∠AEB=120°，再根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，则利用四边形的内角和可计算出∠APB=180°-∠AOB=60°，同时根据切线长定理得到PA=PB，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB，可判断△PAB为等边三角形，在Rt△APO中计算出PA=$\sqrt{3}$OA=6$\sqrt{3}$，根据三角形面积公式，当点E到AB的距离最大时，S_△AEB最大，则四边形AEBP的面积的最大，此时点E为优弧AB的中点，可判断此时△ABE为等边三角形，所以四边形AEBP的面积的最大值=2S_△PAB，然后根据等边三角形的面积公式计算即可．

解答 解：连结OA、OB、AB、OP，如图，
∠AOB=2∠AEB=2×60°=120°，
∵PA和PB为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠APB=180°-∠AOB=60°，
∴△PAB为等边三角形，
在Rt△APO中，∵∠APO=30°，
∴PA=$\sqrt{3}$OA=6$\sqrt{3}$，
当点E到AB的距离最大时，S_△AEB最大，则四边形AEBP的面积的最大，此时点E为优弧AB的中点，
∴EA=EB，
∴S_△AEB最大时，△ABE为等边三角形，
∴四边形AEBP的面积的最大值=2S_△PAB=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（6$\sqrt{3}$）²=54$\sqrt{3}$．
故答案为54$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理和解直角三角形．