Question

（2013•咸宁模拟）操作探究题：
（1）在平面直角坐标系x0y中，画出函数y=-2x²的图象；
（2）将抛物线y=-2x²怎样平移，使得平移后的抛物线满足：①过原点，②抛物线与x正半轴的另一个交点为Q，其顶点为P，且∠OPQ=90°；并写出抛物线的函数表达式；
（3）在上述直角坐标系中，以O为圆心，OP为半径画圆，交x轴于A、B（A点在左边）两点，在抛物线（2）上是否存在一点M，使S_△MOA：S_△POB=2：1？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．
（4）在（3）的条件下，是否存这样的直线过A点且与抛物线只有一个交点？若存在，直接写出其解析式．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）取函数图象上的三个不同点，通过描点、连线进行作图即可．
（2）由于Q、O关于新抛物线的对称轴对称，即点P在线段OQ的垂直平分线上，首先能判断出的是△OPQ一定是等腰三角形，若∠OPQ=90°，那么该三角形一定是等腰直角三角形，若设P（a、a），那么Q（2a，0），利用待定系数法可确定该函数的解析式，进一步可判断出平移方案．
（3）首先求出P、A、B的坐标，则△MOA、△POB的面积可知，根据三角形的面积公式即可得到M点的纵坐标，代入（2）的抛物线解析式中，可得到M点的完整坐标（注意M可能在x轴的上方和下方）．
（4）分两种情况：①过点A且平行于y轴；②设出该直线的解析式，然后联立直线、抛物线的解析式组成方程，若两函数只有一个交点，那么方程的根的判别式为0，按此思路解答即可．

解答：解：（1）取（0，0）、（1，-2）、（-1，-2）三点，作图如下：


（2）由题意知：O、Q关于平移后的抛物线的对称轴对称，所以顶点P在OQ的垂直平分线上，即△OPQ是等腰三角形；
若∠OPQ=90°，那么△OPQ是等腰三角形，若设P（a，a），则Q（2a，0）；
设抛物线的解析式为：y=-2（x-a）²+a，由于抛物线经过Q（2a，0），则：
-2a²+a=0，得：a=

1

2

或a=0；
∴抛物线的解析式为：y=-2（x-

1

2

）²+

1

2

；
平移方案：先将抛物线y=-2x²向右平移

1

2

个单位，再向上平移

1

2

个单位．

（3）由题意知：S_△MOA=2S_△POB，且OP=OA=OB；
S_△OPB=

1

2

OB•|y_P|=

1

2

×OB×

1

2

；
S_△MOA=

1

2

OA•|y_M|=

1

2

×OA×|y_M|；
∴|y_M|=2|y_P|=1，即M点纵坐标为：-1（1舍去）．
由（2）得抛物线的解析式为：y=-2x²+2x，当y=-1时：
-2x²+2x=-1，x₁=

1+ 3

2

、x₂=

1- 3

2

；
∴存在符合条件的M点，且坐标为（

1+ 3

2

，-1）（

1- 3

2

，-1）．

（4）由（2）知：P（

1

2

，

1

2

），则OP=OA=

2

2

，A（-

2

2

，0）；
①过点A且与y轴平行的直线：x=-

2

2

；
交（2）的抛物线于点（-

2

2

，-

2

-1）；
②当该直线与y轴不平行时，设直线的解析式为：y=kx+b，由于过点A（-

2

2

，0），则有：
-

2

2

k+b=0，b=

2

2

k；
即：该直线的解析式：y=kx+

2

2

k，联立抛物线的解析式，得：
kx+

2

2

k=-2x²+2x，化简得：2x²+（k-2）x+

2

2

k=0
由于两函数只有一个交点，则：
△=（k-2）²-4×2×

2

2

k=k²-（4+4

2

）k+4=0，
解得：k=2+2

2

±2

2+2 2

∴y=（2+2

2

+2

2+2 2

）x+2+

2

+

2 2 +4

或y=（2+2

2

-2

2+2 2

）x+2+

2

-

2 2 +4

；
综上，符合条件的直线有三条：x=-

2

2

、y=（2+2

2

+2

2+2 2

）x+2+

2

+

2 2 +4

或y=（2+2

2

-2

2+2 2

）x+2+

2

-

2 2 +4

．

点评：该题的难度不大，主要考查的函数解析式的确定及图象的画法、函数图象的平移、图形面积的解法、函数图象交点坐标的求法等基础知识，（4）题中，与y轴平行的直线容易漏掉，这是该题的一个易错点．