Question

（12分）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长．

Answer 1

（1）见解析；

（2）CD的长是10cm

【解析】

试题分析：（1）证明ABCD是等腰梯形，需证∠ADC=∠C，而∠BDC=∠E，而DB平分∠ADC，所以∠E=∠BDC=∠ADB，所以∠ADC=2∠E=∠C，从而可证明其是等腰梯形．

（2）根据已知得到∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，所以∠DBC=90°，得到DC=2BC=10．

试题解析：（1）∵AE∥BD ∴∠E=∠BDC

∵∠C=2∠E。∴∠C=2∠BDC

∵DB平分∠ADC ∴∠ADC=2∠BDC

∴∠C=∠ADC

∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）∵梯形ABCD是等腰梯形，AD=5

∴BC=AD=5

∵∠C=2∠BDC=2×30°=60°

∴∠DBC=180°－∠BDC－∠C=180°－30°－60°=90°

∵在Rt△BDC中, ∠BDC=30°

∴CD=2BC=2×5=10cm

答：CD的长是10cm

考点：等腰梯形的判定