Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴相交于A，B两点，OA、OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=

3

5

，求直线AC的解析式．
（3）若点M（m，m-5）在△AOC的内部，求m的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）解关于x的一元二次方程，得到OA、OB的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据锐角三角函数设OC=3k，AC=5k，再利用勾股定理列式求出k，从而得到OC的长度，再写出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据点M在△AOC的内部列出不等式求解即可．

解答：解：（1）因式分解得，（x-6）（x-8）=0，
所以，x-6=0，x-8=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴点A（6，0），B（0，8）；

（2）∵sin∠1=

3

5

，∠1=∠COA，
∴设OC=3k，AC=5k，
由勾股定理得，OC²+OA²=AC²，
即（3k）²+6²=（5k）²，
解得k=

3

2

，
∴OC=3k=3×

3

2

=

9

2

，
∴点C（0，-

9

2

），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

6k+b=0 b=- 9 2

，
解得

k= 3 4 b=- 9 2

，
所以，直线AC的解析式为y=

3

4

x-

9

2

；

（3）∵点M（m，m-5）在△AOC的内部，
∴

m-5＜0① m-5＞ 3 4 m- 9 2 ②

，
解不等式①得，m＜5，
解不等式②得，m＞2，
∴m的取值范围2＜m＜5．

点评：本题是一次函数综合题，主要利用了一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式，锐角三角函数，勾股定理，一元一次不等式组的解法，（2）利用勾股定理列出方程然后求出OC的长度是解题的关键，（3）难点在于理解题意并列出不等式组．