Question

如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P．已知正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）求c，b的值，并写出抛物线对称轴及y的最大值（用含有n的代数式表示）；
（2）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；
（3）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，待定系数法即可求出b和c的值，然后求出抛物线的顶点坐标以及对称轴；
（2）根据抛物线与直线AD交于点N，求出N点的坐标，然后根据三角形的面积公式写出△NPO的面积S关于n的关系式，然后根据面积为1，求出n的值即可；
（3）抛物线经过方形区域ABCD（含边界），则求出抛物线过正方形四个顶点时n的值，然后求出n的取值范围．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，且p点坐标为（n，0），
∴c=0，b=n，
抛物线的解析式为y=-x²+nx，
抛物线的对称轴x=

n

2

，
顶点坐标为（

n

2

，

n2

4

），
y的最大值为

n2

4

；

（2）∵正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
∴直线AD的解析式为x=2，
∵抛物线与直线AD交于点N，
∴N点的坐标为（2，2n-4），
当n＞2时，S_△NPO=

1

2

×n×（2n-4），
又知△NPO的面积为1，
∴n²-2n=1，
解得n=1±

2

，
又∵n＞0，
∴n=1+

2

；
当n=2时，P、N两点重合，△NPO不存在，
当0＜n＜2时，

1

2

n（4-2n）=1，解得n=1，
故当n=1+

2

或n=1时，△NPO的面积为1；

（3）分别把A（2，2）、B（3，2）、C（3，3）、D（2，3）中的横坐标、纵坐标代入抛物线的解析式y=-x2+nx中，
解得n=3；n=

11

3

，n=4，n=

7

2

，
若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），
则n的取值范围是3≤n≤4．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题（2）问时需要对n进行分类讨论，否则只求出一种答案，解答（3）问时考虑临界的四个顶点，此题有一定的难度．