Question

【题目】如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab= ，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4≥0，c2﹣≥0，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43 ， c≥4，
∴正数c的最小值是4．
（3）存在，当k=﹣2时， ．
由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，
由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由题意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：

即：
解得：k=﹣2．
【解析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab= ， a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4≥0，即可求出c的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2﹣=2，即可求出k的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根，以及对根与系数的关系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．