已知:矩形ABCD.AB=4.BC=10.动点P从点B开始向点C运动.动点P速度为每秒1个单位.以AP为轴.把△ABP折叠.得△AB′P与矩形ABCD重叠部分面积为y.运动时间为t秒．(1)当运动到第几秒时点B′恰好落在AD上,(2)求y关于t的关系式.以及t的取值范围,(3)在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$,(4)连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．已知：矩形ABCD，AB=4，BC=10，动点P从点B开始向点C运动，动点P速度为每秒1个单位，以AP为轴，把△ABP折叠，得△AB′P与矩形ABCD重叠部分面积为y，运动时间为t秒．

（1）当运动到第几秒时点B′恰好落在AD上；
（2）求y关于t的关系式，以及t的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$；
（4）连接PD，以PD为轴，将△PCD作轴对称变换，得到△PC′D，当t为何值时，点P，B′，C′在同一直线上？

分析（1）点B′落在AD上时，四边形ABPB′为正方形，所以t=4；
（2）分两种情况讨论：①当0≤t≤4时，如图2，重叠部分面积就是△APB′的面积，即△APB的面积；
②当4＜t≤10时，如图3，重叠部分面积就是△APE的面积，先根据勾股定理表示出AE的长，再利用面积公式求△APE的面积；
（3）分别将①和②中的y等于矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$，求出对应的t值即可；
（4）点P，B′，C′在同一直线上时，△AB′P∽△PC′D，得$\frac{AB′}{PC′}=\frac{B′P}{C′D}$，列一元二次方程，求出t的值即可．

解答解：（1）如图1，由折叠得：∠AB′P=∠B=90°，AB=AB′=4，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAB′=90°，
∴四边形ABPB′为正方形，
∴BP=AB=4，
∵动点P速度为每秒1个单位，
∴t=4，
即当运动到第4秒时点B′恰好落在AD上；
（2）分两种情况：①当0≤t≤4时，如图2，PB=t，
由折叠得：S_△AB′P=S_△ABP，
∴y=S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PB=$\frac{1}{2}$×4×t=2t，
②当4＜t≤10时，如图3，
由折叠得：∠APB=∠APE，PB=PB′=t，
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB，
∴∠DAP=∠APE，
∴AE=PE，
设AE=x，则PE=x，B′E=t-x，
由勾股定理得：4²+（t-x）²=x²，
x=$\frac{{t}^{2}+16}{2t}$，
∴y=S_△AEP=$\frac{1}{2}$AE•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{{t}^{2}+16}{2t}$×4=t+$\frac{16}{t}$，
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{2t（0≤t≤4）}\\{t+\frac{16}{t}（4＜t≤10）}\end{array}\right.$；
（3）①y=2t=$\frac{1}{4}$×4×10，
t=5，
②t+$\frac{16}{t}$=$\frac{1}{4}$×4×10，
t2-10t+16=0，
（t-2）（t-8）=0，
t₁=2，t₂=8，
综上所述：在第2秒或5秒或8秒时，重叠部分面积都是矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$；
（4）如图4，点P，B′，C′在同一直线上，
由折叠得：∠APB=∠APB′，∠C′PD=∠CPD，
∴∠APC′+∠C′PD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠PAB′+∠APB′=90°，
∴∠PAB′=∠C′PD，
∵∠AB′P=∠C′=90°，
∴△AB′P∽△PC′D，
∴$\frac{AB′}{PC′}=\frac{B′P}{C′D}$，
∴$\frac{4}{10-t}=\frac{t}{4}$，
∴t（10-t）=16，
解得：t₁=2，t₂=8，如图5所示，
∴当t为2或8时，点P，B′，C′在同一直线上．

点评本题是四边形的综合题，也是翻折变换问题；考查了矩形、直角三角形的性质及重叠部分的面积；明确翻折变换问题其实就是轴对称问题，翻折前后的两个图形的对应边和对应角分别相等，因为是直角三角形，所以可以利用勾股定理或相似列等式求解；对于求重叠部分面积的问题，具体作法是：先找特殊位置和时间的取值范围，再认真观察动点P运动时，所形成的重叠部分分几种图形存在，再分类计算即可．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

伴你成长周周练月月测系列答案

小升初金卷导练系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

3．

如图，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD=4．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

4．

如图，在△ABC中，高AH是边BC的一半，且∠C=75°，求∠B的度数．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

1．下列说法正确的是（　　）

	A．	方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数
	B．	已知一组数据的方差计算公式为s²=$\frac{1}{5}$（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²-20），则这组数据的平均数为4
	C．	数据1，2，2，3，3，4的众数是2
	D．	一组数据x₁，x₂，x₃，…x_n，都减去a值的平均数为m，方差为n，则这组数据的平均数为a+m，方差为n

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

3．已知：二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；
（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；
（3）若y关于x的函数关系式为y=nx²-m²x-2n-2
①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

13．

已知?ABCD，∠A=30°，AD⊥BD于点D，且AB=6，点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E，点Q是射线CD上一动点，且CQ=2AP，以QD，QE为邻边构造?DFEQ，设BP的长度为m．
（1）当点P在边AB上时，
①请用含m的代数式表示DE；
②当m=3.6时，求证：?DFEQ是菱形；
（2）在点P的整个运动过程中，
①当m为何值时，?DFEQ为矩形；
②当点F恰好落在?ABCD的边界上，求m的值（直接写出答案）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

20．在一个口袋中有七个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字-6，-5，-4．-3，-2，2，1．现从袋中抽出一个小球记上面的数字为a，则使得二次函数y=（x+1）²+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程$\frac{ax}{x-2}$=2-$\frac{3x+2}{x-2}$有整数解的概率是$\frac{3}{7}$．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

17．在?ABCD（非矩形）中，AC、BD为对角线，△ABC是直角三角形，若AB=4，AC=3，则对角线BD的长为$\sqrt{37}$或$\sqrt{73}$．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

18．

如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么BC的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学