如图1.已知:正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象交于点A．我们可以发现:反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．你可以利用这一结论解决问题．(1)填空:k1=$\frac{2}{3}$.a=6.m=-3.n=-2,(2)利用所给函数图象.写出不等式k1x＜$\frac{a}{x}$的解集:x＜-3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图1，已知：正比例函数y=k₁x的图象与反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象交于点A（3，2）、B（m，n）．我们可以发现：反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．你可以利用这一结论解决问题．
（1）填空：k₁=$\frac{2}{3}$，a=6，m=-3，n=-2；
（2）利用所给函数图象，写出不等式k₁x＜$\frac{a}{x}$的解集：x＜-3或0＜x＜3；
（3）如图2，正比例函数y=k₂x（k₂≠k₁）的图象与反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象交于点P、Q，以A、B、P、Q为顶点的四边形记为代号“图形※”．
①试说明：图形※一定是平行四边形，但不可能是正方形；
②如图3，当P点在A点的左上方时，过P作直线PM⊥y轴于点M，过点A作直线AN⊥x轴于点N，交直线PM于点D，
若四边形OADP的面积为6．求P点的坐标．

分析（1）直接把点A（3，2）代入一次函数及反比例函数的解析式求出k₁及a的值，再根据反比例函数的图象关于原点对称可得出m、n的值；
（2）直接根据两函数的图象即可得出结论；
（3）①利用“反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形”得：OA=OB，OP=OQ，故图形※的对角线互相平分，图形※是平行四边形；由点A、P都在第一象限可知∠AOP＜∠xoy，即∠AOP＜90°，对角线AB与PQ不可能互相垂直，故图形※不可能是菱形，也就不可能是正方形．
②设点P（c，d），依题意可得四边形OMDN是矩形，故可得出OM×PM=6，ON×AN=6，根据S_矩形OMDN=S_{四边形OADP}+S_△OPM+S_△OAN可得出其面积，由S_矩形OMDN=ON•OM可求出ON•OM的值，由此可得出结论．

解答解：（1）∵正比例函数y=k₁x的图象与反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象交于点A（3，2），
∴3k₁=2，解得k=$\frac{2}{3}$，2=$\frac{a}{3}$，解得a=6．
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴B（-3，-2），
∴m=-3，n=-2．
故答案为：$\frac{2}{3}$，6，-3，-2；

（2）∵A（3，2）、B（-3，-2），
∴当x＜-3或0＜x＜3时，k₁x＜$\frac{a}{x}$．
故答案为：x＜-3或0＜x＜3；

（3）①∵反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴图形※的对角线互相平分，图形※是平行四边形；
∵点A、P都在第一象限，
∴∠AOP＜∠xoy，即∠AOP＜90°，对角线AB与PQ 不可能互相垂直，
∴图形※不可能是菱形，也就不可能是正方形．
②设点P（c，d），依题意可得四边形OMDN是矩形．
∵P和A都在双曲线y=$\frac{6}{x}$上，
∴O M×PM=6，ON×AN=6，
∴S_△OPM=S_△OAN=$\frac{1}{2}$×6=3，又S_{四边形OADP}=6，
∴S_矩形OMDN=S_{四边形OADP}+S_△OPM+S_△OAN=6+3+3=12，
又∵S_矩形OMDN=ON•OM，
∴ON•OM=12，
∵ON=3，
∴OM=4，即d=4，
∴4=$\frac{6}{c}$，c=1.5，
∴点P的坐标为（1.5，4）．

点评本题考查的是反比例函数综合题，在解答此题时要注意利用“反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形”这一结论．

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