Question

如图，在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）若DC∥AB，当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

Answer 1

（1）解：∵函数，m是常数）图象经过A（1，4），
∴m=4．
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为，D点的坐标为，E点的坐标为，
∵a＞1，

∴DB=a，．
由△ABD的面积为4，即，
得a=3，
∴点B的坐标为；

（2）解：∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，
由AE=CE，BE=DE，得，，
∴a-1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得，
解得，
∴直线AB的函数解析式是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，
则BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=cx+d，把点A，B的坐标代入，
得，
解得，
∴直线AB的函数解析式是y=-x+5．综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5．
分析：（1）将A（1，4）代入y=，求出反比例函数解析式，利用三角形ABC的面积为4求出a的值，进而求出a的坐标；
（2）当DC∥AB，当AD=BC时，分两种情况讨论，①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形；②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形；再分别利用待定系数法求解．
点评：此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法、平行四边形的性质、等腰梯形的性质等内容，要仔细研究，且注意分类讨论．