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    1．如图1，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF．
    （1）求证：四边形ABEF是菱形；
    （2）如图2，若∠ABC=60°，连接CF，并将△EFC绕点E顺时针旋转，使点F落在BC的延长线上点F′处，点C落在点C′处，求证：点C′和点F之间的距离等于平行四边形ABCD较短对角线的长．
    （3）在（2）的基础上，若AB=6，AD=8，求点C′和点F之间的距离．

    分析 （1）运用等角对等边证明AB=BE=AF，得到BE∥BE，又BE=BE，所以四边形ABEF是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证；
    （2）连接AC和C′F，可证△AEC≌△C′EF，可得AC=FC'；
    （3）易证A、E、C′三点在同一直线上，又知四边形ABEF是菱形，所以∠EPC′=90°，先求出PF、PE、EC′的长，再用勾股定理求出C′F即可．

    解答 解：（1）如图1，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠1=∠5
    ∵∠1=∠2，
    ∴∠2=∠5
    ∴AB=BE，
    同理，AB=AF，
    ∴AF=BE
    又∵AF∥BE，
    ∴四边形ABEF是平行四边形，
    又∵AB=AF，
    ∴四边形ABEF是菱形，
    （2）如图2，连接CA，C'F，
    ∵∠ABC=60°，四边形ABEF是菱形．
    ∴∠AEB=∠AEF=∠FEC=∠F'EC'=60°，
    ∴∠AEC=∠FEC'=120
    在△AEC和△FEC'
    $\left\{\begin{array}{l}{AE=FE}\\{∠AEC=∠FEC'}\\{EC=EC'}\end{array}\right.$
    ∴△AEC≌△FEC'，
    ∴AC=FC'；
    （3）如图2，由∠F'EC'=60°，∠AEC=∠FEC′=120°，可知点A，E，C三点在同一条直线上，
    ∵∠ABC=60°，四边形ABEF是菱形，
    ∴BF⊥AE，PF=BP，△ABE是等边三角形，
    ∴PE=$\frac{1}{2}$BE=3，PF=BP=BE•cos30°=3$\sqrt{3}$，
    ∵EC'=EC=8-6=2，
    ∴在Rt△C'PF中，C′F=$\sqrt{P{F}^{2}+PC{′}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3）^{2}+{5}^{2}}}$=2$\sqrt{13}$．

    点评 本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定性质，三角形的全等判定与性质，勾股定理；能够在旋转变换中构造出全等形和直角三角形是解决问题的关键．

    练习册系列答案
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    请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    （1）此次抽样调査中，共调査了200名中学生家长；
    （2）将图①补充完整；
    （3）根据抽样调查结果，请你估计我市100000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？

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    （1）求a的值；
    （2）求扫描机工作55分钟时，未扫描的快递个数；
    （3）若要在扫描机开始工作30分钟内，让该段时间内所有到达快递总站的未扫描的快递全部都扫描完毕，求在妇女节当天早上只要要让多少台扫描机一起开始工作？

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    （2）5，10，16，23…$\frac{{n}^{2}+7n+2}{2}$ 
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