Question

如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

Answer 1

解：∵AE=EB，∴AD=2AE，
又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，
∴（1）CM与AD是对应边时，CM=2CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+CM²=1，
解得CM=；

（2）CM与AE是对应边时，CM=CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+4CM²=1，
解得CM=．
所以CM为或时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．
分析：根据AE=EB，△AED中AD=2AE，所以在△MNC中，分CM与AE和AD是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
点评：本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解．