Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A、B，它的对称轴是过点（1，0）且与y轴平行的直线，点A的横坐标是-2．
（1）求二次函数的关系式；
（2）如图2，直线l过点C（2，0）且与y轴平行，现有点P由点A出发沿射线AO以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发，沿直线l向上以每秒1个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒．
①当PQ⊥AQ时，求t的值；
②在二次函数的图象上是否存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形？若存在求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知点B的坐标为（4，0），把点A（-2，0）、B（4，0）代入二次函数的关系式，
得，
解得，
故二次函数的关系是y=x²-x-1；

（2）①当PQ⊥AQ时，∠AQP=90°，
∴∠APQ+∠QAP=90°，
又∵CQ⊥AB，
∴∠ACQ=∠BCQ=90°，
∴∠QAP+∠AQC=90°，∠APQ=∠AQC，
∴△AQC∽△QPC，
∴，
∴CQ²=AC•PC
又∵CQ=t，CP=2t-4，AC=4，
∴t²=4×（2t-4），
解得：t=4，
∴当PQ⊥AQ时，t的值是4；
②在二次函数的图象上存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：
（Ⅰ）以PQ和PC为平行四边形邻边，则QD∥PC，QD=PC，
∴点D的坐标为（6-2t，t），代入y=x²-x-1，得到t=（6-2t）²-（6-2t）-1，解得：t=或，
∴点D的坐标为（-1-，）、（-1+，）；
（Ⅱ）以PC和CQ为平行四边形邻边，则QD∥PC，QD=PC，∴点D的坐标为（2t-2，t），代入y=x²-x-1，得到t=（2t-2）²-（2t-2）-1，解得：t=5或-1（舍去）
∴点D的坐标为（8，5）；
（Ⅲ）以PQ和CQ为平行四边形邻边，则 PD∥QC，PD=QC，∴点D的坐标为（2t-2，-t），代入y=x²-x-1，得到-t=（2t-2）²-（2t-2）-1，解得：t=1或2（舍去）
∴点D的坐标为（0，-1），
综上可知：二次函数的图象上存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形，点D的坐标为：（-1-，）、（-1+，）；（8，5）；（0，-1）．
分析：（1）由对称轴是过点（1，0）且与y轴平行的直线，点A的横坐标是-2，可求出B的坐标，把A和B的坐标分别代入二次函数求出b和c的值即可；
（2）①当PQ⊥AQ时，易证△AQC∽△QPC，根据相似三角形的性质可得关于t的比例式，求出t的值即可；
②在二次函数的图象上存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形，此题可分三种情况讨论，以PQ和PC为平行四边形邻边；以PC和CQ为平行四边形邻边；
以PQ和CQ为平行四边形邻边，分别求出符合题意的t值即可．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，特别是第二问的第二小问要用到分类讨论思想，力争做题时做到不重不漏．