Question

观察下面一列有规律的数：

1

2

，

1

6

，

1

12

，

1

20

，

1

30

，

1

42

…
根据规律解答下列各题：
（1）第七个数是什么？
（2）第几个数是

1

132

？
（3）第n个数是什么？
（4）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

+

1

2010×2011

．

Answer 1

分析：（1）根据分母的变化得出1×2=2，2×3=6，3×4=12，4×5=20…进而得出分母变化规律得出即可；
（2）设第x个数是

1

132

，再利用（1）中变化规律求出即可；
（3）利用（1）中变化规律得出通项公式即可；
（4）根据

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…进而求出即可．

解答：解：（1）∵

1

2

，

1

6

，

1

12

，

1

20

，

1

30

，

1

42

…
∴

1

2

=

1

1×2

，

1

6

=

1

2×3

，

1

12

=

1

3×4

，

1

20

=

1

4×5

，
故第七个数是：

1

7×8

=

1

56

；

（2）设第x个数是

1

132

，
则

1

x(x+1)

=

1

132

，
解得：x=12，
故第12个数是

1

132

；

（3）由（1）得出第n个数是：

1

n(n+1)

；

（4）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

+

1

2010×2011

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

．

点评：本题主要考查了数字规律型，发现数字变化的规律进而得出通项公式是解题关键．