Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的半圆O交BC边于点D，点E在BC边上，且AE=AB，连结AE交半圆O于点F，连结BF．
（1）求证：∠C=∠EBF．
（2）若AF=4，$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$，求半圆O的直径．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠CAE=∠ABF，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，于是得到∠C=∠EBF；
（2）解根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{3}$，设EF=2x，BF=3x，求得AB=AE=4+2x，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠CAE=∠ABF，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠C=∠AEB-∠CAE，∠EBF=∠ABE-∠ABF，
∴∠C=∠EBF；
（2）解：∵∠C=∠EBF，∠BAC=∠EFB=90°，
∴△BAC∽△EFB，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
设EF=2x，BF=3x，
∴AB=AE=4+2x，
∵AB²=AF²+BF²，
∴（4+2x）²=（3x）²+4²，
∴x=$\frac{16}{5}$，
∴AB=$\frac{52}{5}$，
∴半圆O的直径是$\frac{52}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握的识别图形是解题的关键．