Question

如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4m，抛物线顶点到线段MN的距离是4m，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，点A、D落在抛物线上，这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8m？

Answer 1

分析：以MN为x轴，其中点O为坐标原点建立直角坐标系，得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A（x，y），建立含x的方程，矩形铁皮的周长能否等于8米，取决于求出x的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．

解答：解：以MN所在的直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则N（2，0），顶点坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y=ax²+4，将N（2，0）代入得：
4a+4=0，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式为y=-x²+4，
因为点A、D落在抛物线上，
设A（m，-m²+4）（0＜m＜2），则D（-m，-m²+4），
所以矩形铁皮的周长为4m+2（4-m²）=-2m²+4m+8，
假如截下的矩形铁皮的周长等于8，
则-2m²+4m+8=8，
解得m₁=0，m₂=2，
但这两个解都不在0＜m＜2的范围内，
所以这样截下的矩形铁皮的周长不可能等于8m．

点评：此题考查了二次函数的应用，把一个实际问题转化成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．