Question

如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=

 

时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．

Answer 1

分析：根据题意不难确定Rt△AED的两直角边AD=2AE．再根据相似的性质及变化，可考虑Rt△MCN的两直角边MC、NC间的关系满足是

1

2

或2倍．求得CM的长．

解答：解：设CM的长为x．
在Rt△MNC中
∵MN=1，
∴NC=

1-x2

，
①当Rt△AED∽Rt△CMN时，
则

AE

CM

=

AD

CN

，
即

1

x

=

2

1-x2

，
解得x=

5

5

或x=-

5

5

（不合题意，舍去），
②当Rt△AED∽Rt△CNM时，
则

AE

CN

=

AD

CM

，
即

1

1-x2

=

2

x

，
解得x=

2 5

5

或-

2 5

5

（不合题意，舍去），
综上所述，当CM=

5

5

或

2 5

5

时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
故答案为：

5

5

或

2 5

5

．

点评：本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①当Rt△AED∽Rt△CMN时②当Rt△AED∽Rt△CNM时这两种情况．