如图.在半径为5的⊙O中.点A.B在⊙O中.∠AOB=90°.点C是AB的一个动点.AC与OB的延长线相交于点D.设AC=x.BD=y．(1)当x=2时.求y的值,(2)求y关于x的函数解析式,(3)如果⊙O1与⊙O相交于点A.C.且⊙O1与⊙O的圆心距为2.当BD=13OB时.求⊙O1的半径,(4)是否存在点C.使得CD2=DB•DO成立.如果存在.请证明,如果不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O中，∠AOB=90°，点C是

的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）当x=2时，求y的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）如果⊙O₁与⊙O相交于点A、C，且⊙O₁与⊙O的圆心距为2，当BD=

OB时，求⊙O₁的半径；
（4）是否存在点C，使得CD²=DB•DO成立，如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得

，然后将相关线段的长度代入求得y的值；
（2）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得

，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
（3）当BD=

OB时，根据（1）的函数关系式求得y=

，x=6．分两种情况来解答O₁A的值①当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2；②当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6，进而求出即可；
（4）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=

∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=

180°-45°

=67.5°，然后由三角形的内角和定理求得∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．

解答：

（1）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=

AC=1，OE=

AO2-AE2

．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴

，
∵OD=y+5，
∴

y+5

，
解得：y=10

-5；

（2）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=

AC=

x，OE=

AO2-AE2

25-

．
∵∠DEO=∠AOB=90°，
∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴

，
∵OD=y+5，
∴

y+5

25-

．
∴y关于x的函数解析式为：
y=

100-x2

-5x

，定义域为：0＜x＜5

．

（3）解：如图2，当BD=

OB时，

则y=

，
即

100-x2

-5x

，
∴解得：x=6．
∴AE=

x=3，OE=

52-32

=4．
当点O₁在线段OE上时，
O₁E=OE-OO₁=2，
O₁A=

O1E2+AE2

22+32

．
当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6，
O₁A=

O1E2+AE2

62+32

．
∴⊙O₁的半径为

或3

．

（4）存在，当点C为

的中点时，△DCB∽△DOC．
证明：∵当点C为

的中点时，∠BOC=∠AOC=

∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，
∴∠OCA=∠OCB=

180°-45°

=67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．
又∵∠D=∠D，
∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．

点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（3）时注意分两种情况讨论，不要漏解．

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