Question

17．已知整式p=x²+x-1，Q=x²-x+1．R=-x²+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a、b、c为常数）．则可以进行如下分类：
①若a≠0，b=c=0，则称该整式为P类整式；
②若a≠0，b≠0，c=0，则称该整式为PQ类整式；
③若a≠0，b≠0，c≠0．则称该整式为PQR类整式．
…
（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义．
若a=b=0，c≠0，则称该整式为“R类整式”．
若a=0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”．
（2）例如x²-5x+5则称该整式为“PQ类整式”，因为-2P+3Q=-2（x²+x-1）+3（x²-x-1）
=-2x²-2x+2+3x²-3x+3=x²-5x+5．
即x²-5x+5=-2P+3Q，所以x²-5x+5是“PQ类整式”
  问题：x²+x+1是哪一类整式？请通过列式计算说明．
（3）试说明4x²+11x+2015是“PQR类整式”，并求出相应的a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）类比的出R类整式和QR类整式的定义即可；
（2）类比方法拆开表示得出答案即可；
（3）利用给出的PQR类整式得意义待定得出a、b、c的数值即可．

解答 解：（1）若a=b=0，c≠0，则称该整式为“R类整式”．
若a=0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”．
（2）∵x²+x+1=（x²+x-1）+（x²-x+1）+（-x²+x+1），
∴该整式为PQR类整式．
（3）∵4x²+11x+2015是“PQR类整式”，
∴设4x²+11x+2015=a（x²+x-1）+b（x²-x+1）+c（-x²+x+1），
∴a+b-c=4，a-b+c=11，-a+b+c=2015，
解得：a=7.5，b=1009.5，c=1013．

点评 此题考查整式，理解题意，掌握给出的整式的特征，利用类比的方法得出答案即可．