Question

已知在平面直角系xoy中，已知直线AB：y=-

3

3

x+1交x轴于点A，交y轴于点B，将直线AB绕着点A逆时针旋转60°交y轴于点C，
（1）求直线AC的解析式；
（2）经过点A，C的抛物线y=

4

3

x2+bx+c上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△PBC的面积？若存在求出P点的坐标；
（3）在（2）的抛物线上是否存在三点D、E、F，使得△DEF≌△ABC？若存在，直接写出点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直线AB与x轴、y轴的交点求得OB、OA以及∠BAO的度数，然后根据旋转的性质求得OC的值；最后由待定系数法求得直线AC的解析式；
（2）根据已知条件“△PAB的面积等于△PBC的面积”知点P是∠CBA的角平分线与抛物线的交点；
（3）由（1）推知△ABC是等边三角形，因为等边三角形是轴对称图形；然后根据全等三角形的性质知△DEF是轴对称图形，由点D、E、F在抛物线上，所以点D在该抛物线的对称轴上、点E、F关于对称轴对称；设D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、F（x₃，y₃），根据全等三角形的对应边相等可以求得DE=AB=2，EF=BC=2，DF=AC=2据此可以求得点D、E、F的坐标．

解答：解：（1）∵直线AB：y=-

3

3

x+1交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（

3

，0），B（0，1），
∴OA=

3

，OB=1，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∴∠BAO=30°，
∴将直线AB绕着点A逆时针旋转60°后，∠OAC=30°，
∴tan∠OAC=

OC

OA

=

3

3

，
∴OC=1，
∴C（0，-1）；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则

0= 3 k+b 1=b

，
解得，

k= 3 3 b=-1

，
∴直线AC的解析式为：y=

3

3

x-1；

（2）由（1）知，A（

3

，0），C（0，-1），
则

0= 4 3 ×( 3 )2+ 3 b+c -1=c

，
解得，

b=- 3 c=-1

，
∴该抛物线的解析式为：y=

4

3

x2-

3

x-1；
又∵△PAB的面积等于△PBC的面积，
∴点P到直线AB的距离与点P到直线BC的距离相等，即点P在∠CBA的角平分线上或在点P在∠CBA的外角角平分线上．
①当点P在∠CBA的角平分线上时，设P₁（x₁、y₁）（x₁＞0，y₁＜0）；
∵直线PB的解析式为y=-

3

x+1，
∴y₁=-

3

x₁+1，①
又∵点P在抛物线y=

4

3

x2-

3

x-1上，
∴y₁=

4

3

x₁²-

3

x₁-1，②
由①②解得，

x1= 6 2 y1=1- 3 2 2

，
∴P（

6

2

、1-

3 2

2

）；
②当点P在∠CBA的外角角平分线上时，设P₂（x₂、y₂）（x₂＞0，y₂＞0）．
∵直线PB的解析式为y=

3

3

x+1，
∴y₂=

3

3

x₂+1，①
又∵点P在抛物线y=

4

3

x2-

3

x-1上，
∴y₂=

4

3

x₂²-

3

x₂-1，②
由①②解得，

x2= 3 +3 2 y2= 3 +3 2

，
∴P₂（

3 +3

2

、

3 +3

2

）；
综上所述，点P的坐标是（

6

2

、1-

3 2

2

）或（

3 +3

2

、

3 +3

2

）；

（3）由（1）知，A（

3

，0），B（0，1），
∴AB=BC=AC=2，
∴△ABC是正三角形，△ABC的点B、C关于对称轴x轴对称；
又∵△DEF≌△ABC，
∴△DEF的点E、F关于对称轴对称，DE=AB=2，EF=BC=2，DF=AC=2；
∴点D是抛物线y=

4

3

x2-

3

x-1的顶点，
∴x_D=-

- 3

2× 4 3

=

3 3

8

，y_D=

4× 4 3 ×(-1)-( 3 )2

4× 4 3

=-

25

16

，则D（

3 3

8

，-

25

16

）；
∴

(xD-xE)2+(yD-yE)2 =2 yE= 4 3 xE2- 3 xE-1

，
解得，x_E=

3 3

2

-1，y_E=-

25

16

-

3

，则E（

3 3

2

-1，-

25

16

-

3

）；
又∵点E、F关于对称轴对称，
∴F（

3 3

2

+1，-

25

16

-

3

）．
综上所述，D（

3 3

8

，-

25

16

）、E（

3 3

2

-1，-

25

16

-

3

）、F（

3 3

2

+1，-

25

16

-

3

）．

点评：本题考查了二次函数综合题．本题涉及到的知识点有待定系数求一次函数的解析式、直线与抛物线的交点问题以及全等三角形的判定与性质．