Question

12． 如图，点A、B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上（点A在点B的左侧），直线AB分别交x轴，y轴于点D，C，AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，连结AO，BE，已知AB=2BD，△AOC与△BDF的面积之和是△ABE的面积的k倍，则k的值是$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），根据AB=2BD，得$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，利用三角函数得b=3a，设BF=y，则AE=3y，OC=4y，利用△AOC与△BDF的面积之和是△ABE的面积的k倍，列式可得结论．

解答 解：设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），则b＞a，
∵AB=2BD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，
sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{BF}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{\frac{k}{b}}{\frac{k}{a}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{k}{a}$=$\frac{3k}{b}$，b=3a，
∴OF=3a，OE=a，FD=a，
∴设BF=y，则AE=3y，
∴OC=4y，
∵S_△AOC+S_△BDF=kS_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$OC•OE+$\frac{1}{2}$DF•BF=k（S_△COD-S_△AOC-S_△AOF-S_△BDE），
$\frac{1}{2}$•4y•a+$\frac{1}{2}$•a•y=k（$\frac{1}{2}$•4a•4y-$\frac{1}{2}$•a•4y-$\frac{1}{2}$•3y•a-$\frac{1}{2}$•3a•y），
4ya+ya=k（16ya-4ya-3ya-3ya），
k=$\frac{5}{6}$，
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，三角形的面积，有一定难度．利用比例式得出AE和BF的关系是解题的关键．