Question

已知，如图所示，抛物线c₁：y=ax²+bx+c的顶点A在x轴的正半轴上，并与y轴交于点B，OA=

3

，AB=2

3

，抛物线c₂与抛物线c₁关于y轴对称．
（1）求抛物线c₁的函数解析式，并直接写出抛物线c₂的函数解析式；
（2）设l是抛物线c₂的对称轴，P是l上的一点，求当△PAB的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线c₁上是否存在点D，过点D作DC⊥AB于C，使得△DCB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中OA=

3

，AB=2

3

，求得OB的长，从而根据OA，OB得到点A，D坐标，点A坐标即为其顶点坐标，从而得到C₁，C₂C₁关于原点对称，从而得到C₂的顶点坐标，即其对称轴，从而得到C₂解析式．
（2）作BB′∥x轴交C₂于点B′则点B′即为点B关于l的对称点，连接AB′交l于点P即为所求点．先求得直线AB′，代入对称轴l的x值，从而进一步求得点P．
（3）设点设点D（x，(x-

3

)2），求得BD，求得直线AB，求得点D到直线AB的距离，若△DCB与△AOB相似，则

BD

AB

=

CD

OB

或

BD

AB

=

CD

OA

，代入求得的等式是否是否符合，符合则点D存在．

解答：解：（1）∵在Rt△OAB中OA=

3

，AB=2

3

，
∴OB=

AB2-OA2

=3，
∴点A（

3

，0），点B（0，3）．
则由

3a+ 3 b+c=0 c=3 - b 2a =  3

，
解得：a=1，b=-2

3

，c=3，
∴C₁的解析式为：y=x²-2

3

x+3=(x-

3

)2．
则点A关于y轴的对称点为（-

3

，0），
相当于C₁向左平移了2

3

个单位，
∴C₂的解析式为：y=(x+

3

)2；

（2）作BB′∥x轴交C₂于点B′则点B′即为点B关于l的对称点，连接AB′交l于点P即为所求点．
此时AB′即为△APB所形成三角形的最小周长．两点之间线段最短．
∵点A（

3

，0），点B（0，3），
∴E（-

3

，0），
∴B′（-2

3

，3），
则设直线AB′为y=kx+b，代入A，B′得：

0= 3 k+b 3=-2 3 k+b

．
解得：k=-

3

3

，b=1，
∴直线AB′解析式为：y=-

3

3

x+1，
代入对称轴x=-

3

，则y=2，
∴点P（-

3

，2）；

（3）如图：存在，
知道点A，B设直线AB为y=mx+n，
代入解得：y=-

3

x+3，即y+

3

x-3=0，
设点D（x，(x-

3

)2），则BD=

2x2-2 3 x-6

，
则点D到直线的距离CD．
知道OA=

3

，OB=3，AB=2

3

，
若△DCB与△AOB相似，则

BD

AB

=

CD

OB

或

BD

AB

=

CD

OA

，
代入

BD

AB

=

CD

OB

，
则点D（1，4-2

3

），
检验点D符合，
代入

BD

AB

=

CD

OA

，
则点D（3，12-6

3

），
检验符合，
∴点D（1，4-2

3

）或（3，12-6

3

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及到知道抛物线上的点求其解析式，求抛物线的对称轴，以及抛物线的平移．