Question

如图1，已知直线y=-x+4交x轴于点A，交y轴于点B．

（1）写出A、B两点的坐标分别是：______；
（2）设点P是射线y=x（x＞0）上一点，点P的横坐标为t，M是OP的中点（O是原点），以PM为对角线作正方形PDME．正方形PDME与△OAB公共部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值．（图2、3供你探索问题时使用）

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=4，即B（0，4），
当y=0时，x=4，即A（4，0）．
故答案为（4，0），（0，4）；

（2）设点P（t，t），则点M（，），点D（t，）．
当点P在直线AB上时，t=-t+4，解得t=2；
当点M在直线AB上时，=-+4，解得t=4；
当点D在直线AB上时，（此时点E也在直线AB上），=-t+4，解得t=．
分四种情况进行讨论：
①当0＜t≤2时，如图1．
S=S_{正方形PDME}=DM•PD=（）²=t²，
当t=2时，Smax=1；

②当2＜t＜时，如图2，设直线AB与PD、PE分别交于点C、H．
此时PC=t-（-t+4）=2t-4，又PH=PC，
所以S_△PCH=PC²=2（t-2）²；
从而S=S_{正方形PDME}-S_△PCH=t²-2（t-2）²=-t²+8t-8=-（t-）²+，
因为2≤＜，
所以当t=时，S_max=；

③当≤t＜4时，如图3，设直线AB与MD、ME分别交于点F、G．
此时MG=（-+4）-=-t+4，又MG=MF，
所以S_△MGF=MG²=（t-4）²，
即S=S_△MGF=（t-4）²，
当t=时，S_max=；

④当t≥4时，显然S=0．

综合①②③④得：当t=时，S_max=．
分析：（1）由直线y=-x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，即可求得A，B的坐标；
（2）设点P（t，t），则点M（，），点D（t，）．先求出当点P在直线AB上时，t=2；当点M在直线AB上时，t=4；当点D在直线AB上时，t=．然后分四种情况进行讨论：①0＜t≤2；②2＜t＜；③≤t＜4；④t≥4．针对每一种情况，分别求出正方形PDME与△OAB公共部分的面积S与t之间的函数关系式，进而求出S的最大值．
点评：此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法、正方形的性质、一次函数的性质、二次函数最大值的确定以及图形面积的求法等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．