Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=

10

，BC=5，点E在BD上，且∠BAE=∠DBC．设BD=x，AD=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,梯形

专题：计算题

分析：由AD与BC平行，根据两直线平行内错角相等可得出一对角相等，再由已知的两角相等，利用等量代换可得出∠BAE=∠BDA，再由∠ABE为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得出三角形ABE与三角形BDA相似，根据相似得比例，将AB的值，及BD=x代入，用x表示出BE，用BD-BE表示出DE，再由梯形为等腰梯形，得到同一底上的两个角相等，由∠BAE=∠BDA，利用等式的性质得到∠EAD=∠CDB，再加上一对公共角相等，可得出三角形DAE与三角形BDC相似，由相似得比例，将BD=x，AD=y，BC的值，以及表示出的DE代入比例式，可得出y与x的关系式，并根据线段的长度大于0，梯形的上底小于下底，以及三角形的两边之和大于第三边，可得出自变量x的取值范围．

解答：解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=DBC，
∵∠BAE=∠DBC，
∴∠BAE=∠BDA，…（1分）
∵∠ABE是公共角，
∴△BAE∽△BDA，…（2分）
∴

BA

BD

=

BE

BA

，又AB=

10

，BD=x，
∴

10

x

=

BE

10

，
∴BE=

10

x

，…（5分）
∴DE=x-

10

x

，…（6分）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，又∠BAE=∠BDA，
∴∠BAD-∠BAE=∠CDA-∠BDA，即∠EAD=∠CDB，…（7分）
又∵∠ADE=∠DBC，
∴△DAE∽△BDC，…（8分）
∴

DA

BD

=

DE

BC

，又BD=x，AD=y，BC=5，DE=x-

10

x

，
∴

y

x

=

x- 10 x

5

，…（10分）
∴y=

x2-10

5

=

1

5

x²-2．…（11分）
定义域为5-

10

＜x＜5+

10

，且x≠

35

．…（13分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰梯形的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．