Question

如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，以下结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；④S_△ABE=3S_△AGE．其中，正确的有________．

Answer 1

①、②、③、④
分析：①在?ABCD中，由于E、F分别是AD、BC的中点，容易推出四边形BFDE是?，最后得到BE=DF，说明①是正确的；
②由于BE∥DF，在△ADH中，E是AD边的中点，根据中位线定理可以证明AG=GH，同理可证CH=GH，即AG=GH=HC，②是正确的；
③由②的结论可判断EG=DH，再根据前面的条件及结论可判断△ADH≌△CBG，则BG=DH，故EG=BG，③是正确的；
④在△ABE与△AGE中，分别以BE、GE为底边时，则它们的高相等，面积之比即为底边BE与GE之比，根据③的结论，BE：GE=1：3，由此可以判定④是正确的．
解答：①在?ABCD中，∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴ED∥BF，ED=BF，
∴四边形BFDE是?，
∴BE=DF，
∴①是正确的；
②∵BE∥DF，在△ADH中，E是AD边的中点，
∴G是AH边的中点，
∴AG=GH，
同理可证CH=GH，
即AG=GH=HC，
∴②是正确的；
③由②的结论可判断EG=DH，
再根据已知条件及结论得AD=BC，AH=CG，∠DAC=∠BCG，
∴△ADH≌△CBG，
∴BG=DH，
故EG=BG，
∴③是正确的；
④在△ABE与△AGE中，分别以BE、GE为底边时，
∴它们的高相等，面积之比即为底边BE与GE之比，
根据③的结论，BE：GE=1：3，
∴S_△ABE=3S_△AGE，
∴④是正确的．
故填空答案：①、②、③、④．
点评：解题关键是利用平行四边形的性质及判定定理结合三角形全等来解决有关的计算和证明．